Question

（09年长郡中学一模文）（12分）

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

（I）求证：平面BCD；

（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦；

（III）求点E到平面ACD的距离．

Answer 1

解析：方法一：

       （I）证明：连结OC

       ………1分

      

       在中，由已知可得

       而   

       即……………3分

        又

      平面……………4分

（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知

       直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角。……………5分

        在中，

       ……………6分

       是直角斜边AC上的中线，

     ……………7分

       异面直线AB与CD所成角大小的余弦为；……………8分

       （III）解：设点E到平面ACD的距离为

     ……………9分

在中，

         ……………10分

而……………11分

         

点E到平面ACD的距离为……………12分

       方法二：

       （I）同方法一．……………4分

       （II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，

则………………6分

       …………7分

………9分

       异面直线AB与CD所成角大小的余弦为；……………8分

       （III）解：设平面ACD的法向量为则      

……………9分

      

       令得是平面ACD的一个法向量．……………10分

       又 点E到平面ACD的距离

……………12分