Question

关于实数x的不等式命题p：|x-

(a+1)2

2

|≤

(a-1)2

2

与q：x²-3（a+1）x+2（3a+1）≤0（其中a∈R），若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先化简命题p，q，利用p是q的充分条件，求实数a的取值范围．

解答：解：由已知可知p所表示的集合是q所表示集合的子集
由|x-

(a+1)2

2

|≤

(a-1)2

2

⇒2a≤x≤a2+1，
由x²-3（a+1）x+2（3a+1）≤0⇒（x-2）[x-（3a+1）]≤0，
当2≤3a+1，即a≥

1

3

时，2≤x≤3a+1，有

2a≥2 a2+1≤3a+1

⇒1≤a≤3；
当3a+1＜2，即a＜

1

3

时，3a+1≤x≤2，有

a2+1≥2 2a≤3a+1

⇒a=-1．
∴实数a的取值范围是：1≤a≤3或a=-1．

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用．