Question

解关于实数x的不等式

ax

x-1

＜1，a∈R．

Answer 1

分析：先通分为：(x-1)(x-

1

1-a

)＜0，因为方程(x-1)(x-

1

1-a

)=0的两根x=1与x=

1

1-a

，大小没法比较，所以要分类讨论，①a＞1；②0＜a＜1，③a=1，④a=0，⑤a＜0，从而求出不等式的解．

解答：解：（1）当a=1时，原不等式等价于x-1＜0，即x＜1，故原不等式的解集为{x|x＜1}
（2）当a＞1时，原不等式等价于(x-1)(x-

1

1-a

)＜0即

1

1-a

＜x＜1，故原不等式的解集为{x|

1

1-a

＜x＜1}
（3）当0＜a＜1时，原不等式等价于(x-1)(x-

1

1-a

)＞0即x＞

1

1-a

或x＜1，故原不等式的解集为{x|x＞

1

1-a

或x＜1}
（4）当a=0时，原不等式等价于（x-1）²＞0，即x≠1，故原不等式的解集为{x|x∈R，x≠1}
（5）当a＜0时，原不等式等价于(x-1)(x-

1

1-a

)＞0，即x＞1或x＜

1

1-a

，故原不等式的解集为{x|x＞1或x＜

1

1-a

}．

点评：此题主要考查一元二次不等式的解法，运用了分类讨论的思想，分类讨论的问题比较多，从而加大了试题的难度．