Question

2．已知抛物线C：y²=2px（p＞0），焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若P为抛物线C上的动点，求线段FP的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）先求抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程，根据抛物线的定义，即可求得结论；
（2）利用代入法，即可求线段FP的中点M的轨迹方程．

解答 解：（1）抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程为：x=-$\frac{p}{2}$
∵抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5，
∴根据抛物线的定义可知，3+$\frac{p}{2}$=5，
∴p=4
∴抛物线C的方程是y²=8x；
（2）由（1）知F（2，0），设P（x₀，y₀），M（x，y），则$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{{x_0}+2}}{2}}\\{y=\frac{y_0}{2}}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}=2x-2}\\{{y_0}=2y}\end{array}}\right.$，
而点P（x₀，y₀）在抛物线C上，$y_0^2=8{x_0}$，
∴（2y）²=8（2x-2），即y²=4（x-1），
此即所求点M的轨迹方程．

点评 本题以抛物线为载体，考查抛物线定义的运用，考查代入法求轨迹方程，正确运用抛物线的定义是解题的关键．