Question

二次函数f(x)满足f (x＋1)－f (x)＝2x且f (0)＝1．

⑴求f (x)的解析式；

⑵在区间[－1，1]上，y＝f (x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的范围．

Answer 1

（1）设：f（x）=ax²+bx+1

又因为f（x+1）-f（x）=2x， 化简可知    2a-2=0;a+b=0   

所以：a=1,b=-1       所以f（x）=x²-x+1

（2）因为y==f（x）的图像恒在y=2x+m的图像上方     

所以[-1，1]上，f（x）>y=2x+m恒成立即：x²-3x+1>m在区间[-1，1]恒成立

所以令g(x)=x²-3x+1      g'(x)=2x-3=0,      x=1.5

所以g(x)min=g(1)=-1,    所以m<-1