Question

（本小题满分12分）二次函数f(x)满足f (x＋1)－f (x)＝2x且f (0)＝1．（1）求f (x)的解析式；

（2）在区间[－1，1]上，y＝f (x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的范围．

Answer 1

(Ⅰ) f(x)＝x²－x＋1   (Ⅱ) m<－1

解析:

(1)设f（x）＝ax²＋bx＋c，由f（0）＝1得c＝1，故f（x）＝ax²＋bx＋1．

∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)²＋b(x＋1)＋1－(ax²＋bx＋1)＝2x．

即2ax＋a＋b＝2x，所以，∴f(x)＝x²－x＋1．

(2)由题意得x²－x＋1>2x＋m在[－1，1]上恒成立．即x²－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立．

设g(x)＝ x²－3x＋1－m，其图象的对称轴为直线x＝，所以g(x) 在[－1，1]上递减．

故只需g(1)>0，即1²－3×1＋1－m>0，解得m<－1．