题目内容
已知二次函数f(x)满足f (x＋1)－f (x)＝2x且f (0)＝1．
⑴求f (x)的解析式；
⑵在区间[－1，1]上，y＝f (x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的范围．
【答案】
(1) f(x)＝x2－x＋1
(2) m<－1
【解析】解： (1)设f（x）＝ax2＋bx＋c，由f（0）＝1得c＝1，故f（x）＝ax2＋bx＋1．
∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x．
即2ax＋a＋b＝2x，所以
，∴f(x)＝x2－x＋1． 6分
(2)由题意得x2－x＋1>2x＋m在[－1，1]上恒成立．即x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立．
设g(x)＝ x2－3x＋1－m，其图象的对称轴为直线x＝，所以g(x) 在[－1，1]上递减．
故只需g(1)>0，即12－3×1＋1－m>0，解得m<－1 12分
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