Question

已知函数y=Asin（ωx+ψ）（A＞0，ψ＞0，ψ的绝对值小于

π

2

）的图象的一个最高点为（2，

2

），由这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于（6，0），试求这个函数的解析式．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：根据函数的最高点的坐标确定A，根据函数零点的坐标确定函数的周期，利用最值点的坐标同时求ψ的取值，即可得到函数的解析式．

解答： 解：∵函数图象的一个最高点为（2，

2

），
∴A=

2

，x=2为其中一条对称轴．
这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于（6，0），
∴

T

4

=6-2=4，
即函数的周期T=16，
∵T=

2π

ω

=16，
∴ω=

π

8

，
此时函数y=f（x）=

2

sin（

π

8

x+ψ），
∵f（2）=

2

sin（

π

8

×2+ψ）=

2

，
∴sin（

π

4

+ψ）=1，
即

π

4

+ψ=2kπ+

π

2

，
即ψ=

π

4

+2kπ，
∵ψ的绝对值小于

π

2

，
∴当k=0时，ψ=

π

4

，
∴这个函数的解析式为y=f（x）=

2

sin（

π

8

x+

π

4

）．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件确定A，ω，ψ的取值是解决本题的关键．