Question

四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF：FC=2：3．DH：HA=2：3．
（1）证明：点G、E、F、H四点共面；
（2）证明：EF、GH、BD交于一点．

Answer 1

【答案】分析：（1）由E、G分别为BC、AB的中点，根据中位线定理，我们可得，EG∥AC，又由F、G分别是BC、CD上的点，且DF：FC=2：3．DH：HA=2：3，根据平行线分线段成比例定理的引理，我们可得FH∥AC，则由平行公理我们可得EG∥FH，易得E、F、G、H四点共面；
（2）由（1）的结论，EF，GH是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点P，而由于BD是EF和GH分别所在平面BCD和平面ABD的交线，而点P是上述两平面的公共点，由公理3知P∈BD，故三线共点．
解答：证明：（1）∵E、G分别为BC、AB的中点，∴EG∥AC
又∵DF：FC=2：3．DH：HA=2：3，∴FH∥AC．
∴EG∥FH
所以，E、F、G、H四点共面．
（2）由（1）可知，EG∥FH，且EG≠FH，即EF，GH是梯形的两腰，
所以它们的延长线必相交于一点P
∵BD是EF和GH分别所在平面BCD和平面ABD的交线，而点P是上述两平面的公共点，
∴由公理3知P∈BD．
所以，三条直线EF、GH、BD交于一点．
点评：所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点．（1）证明三线共点的依据是公理3．（2）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题．实际上，点共线、线共点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理．