Question

在正四面体ABCD中，E，F分别为BC，AD的中点，则异面直线AE与CF所成角的余弦值是

 

．

Answer 1

分析：连接ED，取ED的中点M，连接CM、FM，则FM∥AE，且FM=

1

2

AE，所以异面直线AE与CF所成的角即为∠CFM或其补角，然后在△MFC中，借助正弦或余弦定理解出所求的角．

解答：解：如图所示：设正四面体ABCD的棱长为a，
连接ED，取ED的中点M，连接CM、FM，则FM∥AE，且FM=

1

2

AE，
∴异面直线AE与CF所成的角即为∠CFM或其补角，
∵AE=CF=

3

2

a，
∴FM=

3

4

a
在Rt△MEC中，EC=

1

2

a，EM=

3

4

a，
∴MC=

7

4

a
∴cos∠CFM=

CF2+FM2-MC2

2×CF×FM

=

3 4 + 3 16 - 7 16

2× 3 2 × 3 4

=

2

3

．
故答案是：

2

3

．

点评：本题主要考查了异面直线所成的角，空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力和思维能力．求异面直线所成的角，一般有两种方法，法一几何法，即利用“作、证、求”求得角；法二向量法，即利用向量的数量积公式求向量的夹角的余弦值．