Question

设a＞0,b＞0.

(1)比较a³+b³与a²b+ab²的大小;

(2)比较a⁴+b⁴与a³b+ab³的大小;

(3)比较aⁿ+bⁿ与a^n-1b+ab^n-1的大小(其中n∈N^*,且n≠1).

   

Answer 1

思路分析:比较两个数(式)的大小,一般运用作差法.

    解:(1)a³+b³-a²b-ab²=(a+b)(a²-ab+b²)-ab(a+b)=(a+b)(a-b)².

∵a＞0,b＞0,∴a+b＞0.

∵(a-b)²≥0,∴(a+b)(a-b)²≥0.

∴a³+b³≥a²b+ab².

(2)a⁴+b⁴-a³b-ab³=a³(a-b)+b³(b-a)=(a-b)(a³-b³)=(a-b)²(a²+ab+b²).

∵(a-b)²≥0,a²+ab+b²＞0,

∴a⁴+b⁴-a³b-ab³≥0,

    即a⁴+b⁴≥a³b+ab³.

(3)aⁿ+bⁿ-(a^n-1b+ab^n-1)=a^n-1(a-b)+b^n-1(b-a)=(a-b)(a^n-1-b^n-1).

①当a＞b＞0时,a-b＞0,且根据函数y=x^n-1(n∈N^*,n≠1)在(0,+∞)上是单调递增函数可知a^n-1＞b^n-1,即a^n-1-b^n-1＞0,则(a-b)(a^n-1-b^n-1)＞0.

②当a=b＞0时,a-b=0,则(a-b)(a^n-1-b^n-1)=0.

③当b＞a＞0时,a-b＜0,同①可得a^n-1-b^n-1＜0,则(a-b)(a^n-1-b^n-1)＞0.

    综上所述(a-b)(a^n-1-b^n-1)≥0,当且仅当a=b时取等号,因此,aⁿ+bⁿ≥a^n-1b+ab^n-1.