Question

(1)设a＞0,b＞0,c＞0且a+b+c=1,求证:8abc≤(1-a)(1-b)(1-c).

(2)设a,b,c为一个不等边三角形的三边,求证:abc＞(b+c-a)(a+b-c)(c+a-b).

(3)已知a＞0,b＞0,a+b=1,求证:(1+)(1+)≥25.

(4)设x＞0,y＞0,求证:.

Answer 1

证明：(1)∵a＞0,b＞0,c＞0且a+b+c=1,

∴1-a=b+c＞0.

同理,1-b=a+c＞0,1-c=a+b＞0,

∴(1-a)(1-b)(1-c)=(a+b)(b+c)(a+c).∵a+b≥2＞0,b+c≥2＞0,a+c≥2＞0,

∴(a+b)(b+c)(a+c)≥2·2·2=8abc(当a=b=c=时,等号成立).

(2)∵a,b,c为一个不等边三角形的三边,

∴a＞0,b＞0,c＞0且a+b-c＞0,a+c-b＞0,b+c-a＞0.

∵a=≥＞0,

同理,b=≥＞0,

c=＞0,

由于三角形是不等边三角形,上述三式不能同时取“＝”,

∴abc＞(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).

(3)设y===

∵a＞0,b＞0,a+b=1,

∴a²+2ab+b²=1.

∴a²+b²=1-2ab.

∴y=1+令t=,则y=2t²-2t+1.

,即0＜ab≤.

∴≥4,即t∈［4,+∞).

由二次函数的性质可知对称轴t=.

y=2t²-2t+1在t∈［4,+∞)上是增函数.

∴当t=4时,y取最小值25.故(1+)(1+)≥25.

(4)∵x＞0,y＞0,∴(x²+y²)³=x⁶+y⁶+3x²y²(x²+y²)≥x⁶+y⁶+6x³y³＞x⁶+y⁶+2x³y³=(x³+y³)².

由不等式的性质,两边同时开6次方,得.