Question

曲线y=2lnx上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是

 

．

Answer 1

分析：设与直线2x-y+3=0平行且与曲线y=2lnx相切的直线方程为2x-y+m=0．设切点为P（x₀，y₀），利用导数的几何意义求得切点P，再利用点到直线的距离公式即可得出．

解答：解：设与直线2x-y+3=0平行且与曲线y=2lnx相切的直线方程为2x-y+m=0．
设切点为P（x₀，y₀），
∵y′=

2

x

，
∴斜率2=

2

x0

，
解得x₀=1，因此y₀=2ln1=0．
∴切点为P（1，0）．
则点P到直线2x-y+3=0的距离d=

|2-0+3|

22+(-1)2

=

5

．
∴曲线y=2lnx上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是

5

．
故答案为：

5

．

点评：本题考查了导数的几何意义和两条平行线之间的距离、点到直线的距离公式，属于基础题．