Question

点P是曲线x2-y-2ln

x

=0上任意一点，则点P到直线4x+4y+1=0的最小距离是（　　）

• A．

  2

  2

  (1-ln2)
• B．

  2

  2

  (1+ln2)
• C．

  2

  2

  (

  1

  2

  +ln2)
• D．

  1

  2

  (1+ln2)

Answer 1

分析：求出函数的导函数，令导函数等于已知直线的斜率求出x的值，即与直线4x+4y+1=0平行的切线的切点横坐标，代入曲线方程求出切点坐标，利用点到直线的距离公式求出切点到直线的距离，即最小距离．

解答：解：x2-y-2ln

x

=0即y=x2-2ln

x

∴y′=2x-

1

x

又4x+4y+1=0即为y=-x-

1

4

令2x-

1

x

=-1得x=

1

2

与直线4x+4y+1=0平行的切线的切点为(

1

2

，

1

4

+ln2)
∴点P到直线4x+4y+1=0的最小距离是d=

|4× 1 2 +4×( 1 4 +ln2)+1|

32

=

2 (1+ln2)

2

故选B

点评：曲线的导函数在切点处的值为曲线的切线斜率，求点到直线的距离最值常转化为平行直线的距离问题．