Question

若钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，求m的取值范围．

Answer 1

分析：设钝角三角形的三内角为：60°-α，60°，60°+α，则90°＜60°+α＜120°，求出α的范围，由正弦定理求得
tanα=

3 (m-1)

m+1

，再由tanα的范围解不等式求出m的取值范围．

解答：解：设钝角三角形的三内角为：60°-α，60°，60°+α，则90°＜60°+α＜120°，
即30°＜α＜60°，设60°+α对应a边，60°-α对应b边，由正弦定理，得：

a

b

=

sin(60°+α)

sin(60°-α)

=

sin60°cosα+cos60°sinα

sin60°cosα-cos60°sinα

=m，
∴tanα=

3 (m-1)

m+1

．
∵30°＜α＜60°，∴

3

3

＜tanα＜

3

，∴m＞2，
故m的取值范围为（2，+∞）．

点评：本题考查等差数列的定义和性质，正弦定理的应用，求得tanα=

3 (m-1)

m+1

，是解题的关键，属于中档题．