题目内容
（2012•湖南）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%．预计以后每年年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．
（Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出an+1与an的关系式；
（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）．
（Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出an+1与an的关系式；
（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）．
分析：（Ⅰ）由题意可求得a1=2000（1+50%）-d，a2=a1（1+50%）-d=，…从而归纳出an+1=
an-d．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得an=
an-1-d=
（
an-2-d）-d=…=(
)n-1a1-d[1+
+(
)2+…+(
)n-2]，利用等比数列的求和公式可求得an=(
)n-1（3000-3d）+2d，再结合题意am=4000，
即可确定企业每年上缴资金d的值．
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（Ⅱ）由（Ⅰ）得an=
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即可确定企业每年上缴资金d的值．
解答：解：（Ⅰ）由题意得：a1=2000（1+50%）-d=3000-d，
a2=a1（1+50%）-d=
a1-d=4500-
d，
…
an+1=an（1+50%）-d=
an-d．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得an=
an-1-d
=
（
an-2-d）-d
=(
)2an-2-
d-d
=…
=(
)n-1a1-d[1+
+(
)2+…+(
)n-2]
整理得：an=(
)n-1（3000-d）-2d[(
)n-1-1]
=(
)n-1（3000-3d）+2d．
由题意，am=4000，即(
)m-1（3000-3d）+2d=4000．
解得d=
=
，
故该企业每年上缴资金d的值为
时，经过m（m≥3）年企业的剩余资金为4000万元．
a2=a1（1+50%）-d=
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…
an+1=an（1+50%）-d=
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（Ⅱ）由（Ⅰ）得an=
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=…
=(
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整理得：an=(
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=(
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由题意，am=4000，即(
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解得d=
[(
| ||
(
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| 1000(3m-2m+1) |
| 3m-2m |
故该企业每年上缴资金d的值为
| 1000(3m-2m+1) |
| 3m-2m |
点评：本题考查数列的应用，着重考查归纳思想的运用，求得an+1=
an-d是关键，递推关系的综合应用是难点，突出转化与运算能力的考查，属于难题．
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