Question

（2012•湖南）某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为K（K为正整数）．
（1）设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；
（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数K的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．

Answer 1

分析：（1）设完成A，B，C三种部件生产需要的时间分别为T₁（x），T₂（x），T₃（x），则可得T1(x)=

2×3000

6x

=

1000

x

，T2(x)=

2000

kx

，T3(x)=

1500

200-(1+k)x

；
（2）完成订单任务的时间为f（x）=max{T₁（x），T₂（x），T₃（x）}，其定义域为{x|0＜x＜

200

1+k

，x∈N+}，可得T₁（x），T₂（x）为减函数，T₃（x）为增函数，T₂（x）=

2

k

T₁（x），分类讨论：①当k=2时，T₂（x）=T₁（x），f（x）=max{T₁（x），T₃（x）}=max{

1000

x

，

1500

200-3x

}，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间；②当k≥3时，T₂（x）＜T₁（x），T3(x)=

1500

200-(1+k)x

≥

375

50-x

记T (x)=

375

50-x

，为增函数，φ（x）=max{T₁（x），T（x）}f（x）=max{T₁（x），T₃（x）}≥max{T₁（x），T（x）}=max{

1000

x

，

375

50-x

}，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间；③当k＜2时，k=1，f（x）=max{T₂（x），T₃（x）}=max{

2000

x

，

750

100-x

}，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间，从而问题得解．

解答：解：（1）设写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间分别为T₁（x），T₂（x），T₃（x）
∴T1(x)=

2×3000

6x

=

1000

x

，T2(x)=

2000

kx

，T3(x)=

1500

200-(1+k)x

其中x，kx，200-（1+k）x均为1到200之间的正整数
（2）完成订单任务的时间为f（x）=max{T₁（x），T₂（x），T₃（x）}，其定义域为{x|0＜x＜

200

1+k

，x∈N+}
∴T₁（x），T₂（x）为减函数，T₃（x）为增函数，T₂（x）=

2

k

T₁（x）
①当k=2时，T₂（x）=T₁（x），f（x）=max{T₁（x），T₃（x）}=max{

1000

x

，

1500

200-3x

}
∵T₁（x），T₃（x）为增函数，∴当

1000

x

=

1500

200-3x

时，f（x）取得最小值，此时x=

400

9

∵44＜

400

9

＜45，f(44)=T1(44)=

250

11

，f(45)=T3(45)=

300

13

，f（44）＜f（45）
∴x=44时，完成订单任务的时间最短，时间最短为f(44)=

250

11

②当k≥3时，T₂（x）＜T₁（x），T3(x)=

1500

200-(1+k)x

≥

375

50-x

记T (x)=

375

50-x

，为增函数，φ（x）=max{T₁（x），T（x）}
f（x）=max{T₁（x），T₃（x）}≥max{T₁（x），T（x）}=max{

1000

x

，

375

50-x

}
∵T₁（x）为减函数，T（x）为增函数，∴当

1000

x

=

375

50-x

时，φ（x）取得最小值，此时x=

400

11

∵36＜

400

11

＜37，φ(36)=T1(36)=

250

9

＞

250

11

，φ(37)=T (37)=

375

13

＞

250

11

∴完成订单任务的时间大于

250

11

③当k＜2时，k=1，f（x）=max{T₂（x），T₃（x）}=max{

2000

x

，

750

100-x

}
∵T₂（x）为减函数，T₃（x）为增函数，∴当

2000

x

=

750

100-x

时，φ（x）取得最小值，此时x=

800

11

类似①的讨论，此时完成订单任务的时间为

250

9

，大于

250

11

综上所述，当k=2时，完成订单任务的时间最短，此时，生产A，B，C三种部件的人数分别为44，88，68．

点评：本题考查函数模型的构建，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是确定分类标准，有难度．