Question

1．设S_n，T_n分别是数列{a_n}和{b_n}的前n项和，已知对于任意n∈N^*，都有3a_n=2S_n+3，数列{b_n}是等差数列，且T₅=25，b₁₀=19．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=$\frac{{a}_{n}{b}_{n}}{n（n+1）}$，数列{c_n}的前n项和为R_n，求使R_n＞2017成立的n的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由3a_n=2S_n+3，可得n=1时，3a₁=2a₁+3，解得a₁=3．n≥2时，3a_n-1=2S_n-1+3，可得a_n=3a_n-1，利用等比数列的通项公式可得a_n．设等差数列{b_n}的公差为d，由T₅=25，b₁₀=19．可得5b₁+$\frac{5×4}{2}$d=25，b₁+9d=19，联立解出即可得出．
（II）由（I）可得：c_n=$\frac{{a}_{n}{b}_{n}}{n（n+1）}$=$\frac{（2n-1）•{3}^{n}}{n（n+1）}$=$\frac{[3n-（n+1）]•{3}^{n}}{n（n+1）}$=$\frac{{3}^{n+1}}{n+1}$-$\frac{{3}^{n}}{n}$，利用“裂项求和”方法可得R_n．由于c_n＞0，故数列{c_n}单调递增，即可得出．

解答 解：（I）由3a_n=2S_n+3，可得n=1时，3a₁=2a₁+3，解得a₁=3．n≥2时，3a_n-1=2S_n-1+3，可得3a_n-3a_n-1=2S_n-2S_n-1=2a_n，可得a_n=3a_n-1，∴数列{a_n}是等比数列，公比为3，首项为3．∴a_n=3ⁿ．
设等差数列{b_n}的公差为d，∵T₅=25，b₁₀=19．∴5b₁+$\frac{5×4}{2}$d=25，b₁+9d=19，
联立解得b₁=1，d=2．∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．
（II）由（I）可得：c_n=$\frac{{a}_{n}{b}_{n}}{n（n+1）}$=$\frac{（2n-1）•{3}^{n}}{n（n+1）}$=$\frac{[3n-（n+1）]•{3}^{n}}{n（n+1）}$=$\frac{{3}^{n+1}}{n+1}$-$\frac{{3}^{n}}{n}$，
∴数列{c_n}的前n项和为R_n=$（\frac{{3}^{2}}{2}-\frac{3}{1}）$+$（\frac{{3}^{3}}{3}-\frac{{3}^{2}}{2}）$+…+$（\frac{{3}^{n+1}}{n+1}-\frac{{3}^{n}}{n}）$
=$\frac{{3}^{n+1}}{n+1}$-3，
由于c_n＞0，∴数列{c_n}单调递增，
R₇=817.125＜2017，R₈=2184＞2017．
∴使R_n＞2017成立的n的取值范围是n≥8．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．