Question

已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A，C上顶点为B，过F，B，C三点作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．
（1）若FC是⊙P的直径，求椭圆的离心率；
（2）若⊙P的圆心在直线x+y=0上，求椭圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由椭圆的方程知a=1，点B（0，b），C（1，0），设F的坐标为（-c，0），由FC是⊙P的直径，知FB⊥BC．由，知b²=c=1-c²，c²+c-1=0．由此能求出椭圆的离心率．
（2）由P过点F，B，C三点，知圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，FC的垂直平分线方程为．由BC的中点为，k_BC=-b，知BC的垂直平分线方程为，所以．由P（m，n）在直线x+y=0上，知b=c．由此能求出椭圆的方程．
解答：解：（1）由椭圆的方程知a=1，∴点B（0，b），C（1，0），
设F的坐标为（-c，0），（1分）
∵FC是⊙P的直径，
∴FB⊥BC
∵
∴（2分）
∴b²=c=1-c²，c²+c-1=0（3分）
解得（5分）
∴椭圆的离心率（6分）
（2）解：∵⊙P过点F，B，C三点，
∴圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，
FC的垂直平分线方程为①（7分）
∵BC的中点为，k_BC=-b
∴BC的垂直平分线方程为②（9分）
由①②得，
即（11分）
∵P（m，n）在直线x+y=0上，
∴⇒（1+b）（b-c）=0
∵1+b＞0
∴b=c（13分）
由b²=1-c²得
∴椭圆的方程为x²+2y²=1（14分）
点评：本题考查椭圆的离心率和椭圆方程的求法．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆的性质，合理地进行等价转化．