Question

17．若函数f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$+（a-1）x²+2x在区间（-∞，-3）内是增函数，则a的取值范围是（-∞，$\frac{17}{6}$]．

Answer 1

分析 求导数得到f′（x）=x²+2（a-1）x+2，从而根据题意得到f′（x）≤0在x∈（-∞，-3）上恒成立，进而得到$a≤-\frac{x}{2}-\frac{1}{x}+1$在x∈（-∞，-3）上恒成立，可设g（x）=$-\frac{x}{2}-\frac{1}{x}+1$，x∈（-∞，-3），容易判断g′（x）＜0，从而得出g（x）＞g（-3）=$\frac{17}{6}$，这样便可得出a的取值范围．

解答 解：f′（x）=x²+2（a-1）x+2；
f（x）在区间（-∞，-3）内是增函数；
∴x＜-3时，x²+2（a-1）x+2≥0恒成立；
∴$a≤-\frac{x}{2}-\frac{1}{x}+1$在x∈（-∞，-3）上恒成立；
设g（x）=$-\frac{x}{2}-\frac{1}{x}+1$，x∈（-∞，-3），$g′（x）=\frac{2-{x}^{2}}{2{x}^{2}}$；
∵x＜-3；
∴g′（x）＜0；
∴g（x）在（-∞，-3）上单调递减；
∴$g（x）＞g（-3）=\frac{17}{6}$；
∴$a≤\frac{17}{6}$；
∴a的取值范围为（-∞，$\frac{17}{6}$]．
故答案为：$（-∞，\frac{17}{6}]$．

点评 考查函数单调性和函数导数符号的关系，根据函数单调性求函数值域的方法，注意正确求导，要熟悉二次函数的图象．