Question

（2012•眉山二模）数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n+n+1（n≥1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设等差数列{b_n}各项均为正数，满足b₁+b₂+b₃=18，且a₁+b₁+2，a₂+b₂，a₃+b₃-3成等比数列，证明：

1

a2b2

+

1

a3b3

+…+

1

anbn

＜

1

6

．

Answer 1

分析：（1）由

an+1=2Sn+n+1 an=2Sn-1+n

，得a_n+1=3a_n+n，n≥2，故数列{a_n+

1

2

}是首项为

3

2

，公比为3的等比数列．由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b₁+b₂+b₃=18，得b₂=6，设{b_n}的公差为d，且d＞0，得（9-d）（16+d）=100，故bn=4n-2，(n∈N*)．再由

1

anbn

=

1

(2n-1)(3n-1)

＜

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．由此能够证明

1

a2b2

+

1

a3b3

+…+

1

anbn

＜

1

6

．

解答：解：（1）由

an+1=2Sn+n+1 an=2Sn-1+n

，
得a_n+1=3a_n+n，n≥2，
∴a_n+1+

1

2

=3(an+

1

2

)，（3分）
又a2+

1

2

=4+

1

2

=3(a1+

1

2

)也满足上式，
∴数列{a_n+

1

2

}是首项为

3

2

，公比为3的等比数列．
∴an+

1

2

=

3

2

×3n-1=

3n

2

，
∴an=

1

2

(3n-1)，(n∈N*)．
（2）∵等差数列{b_n}各项均为正数，满足b₁+b₂+b₃=18，
∴b₂=6，设{b_n}的公差为d，且d＞0，
依题意可得9-d，10，16+d成等比数例，
∴（9-d）（16+d）=100，解得d=4，或d=-11，（舍去），
∴bn=4n-2，(n∈N*)．（8分）
∴当n≥2时，

1

anbn

=

1

(2n-1)(3n-1)

＜

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．
∴

1

a2b2

+

1

a3b3

+…+

1

anbn

＜

1

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(

1

3

-

1

2n+1

)＜

1

2

×

1

3

=

1

6

．
∴

1

a2b2

+

1

a3b3

+…+

1

anbn

＜

1

6

．（12分）

点评：本题考查数列通项公式的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的前n基和公式、通项公式的灵活运用．