Question

已知数列{a_n}，首项a ₁=3且2a _n=S _n•S _n-1 （n≥2）．
（1）求证：{

1

Sn

}是等差数列，并求公差；
（2）求{a _n }的通项公式；
（3）数列{a_n}中是否存在自然数k₀，使得当自然数k≥k₀时使不等式a_k＞a_k+1对任意大于等于k的自然数都成立，若存在求出最小的k值，否则请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中2a _n=S _n•S _n-1，我们易可2（S_n-S_n-1）=S_n•S_n-1，两这同除S_n•S_n-1后，即可得到

1

Sn

-

1

Sn-1

= -

1

2

（n≥2），即数列{

1

Sn

}是以

1

3

为公差等差数列，再由首项a ₁=3，代入求出数列{

1

Sn

}的首项，即可得到数列{

1

Sn

}的通项公式；
（2）由（1）的结论，结合2a _n=S _n•S _n-1，我们可以得到n≥2时，{a _n }的通项公式，结合首项a ₁=3，我们可以得到{a _n }的通项公式；
（3）令a_k＞a_k+1解不等式我们可以求出满足条件的取值范围，再根据k∈N，即可得到满足条件的k值．

解答：解：（1）．由已知当n≥2时2a_n=S_n•S_n-1得：2（S_n-S_n-1）=S_n•S_n-1（n≥2）⇒

1

Sn

-

1

Sn-1

= -

1

2

（n≥2）⇒{

1

Sn

}是以

1

S1

=

1

a1

=

1

3

为首项，公差d=-

1

2

的等差数列．
（2）．∵

1

Sn

=

1

S1

+(n-1)d=

1

3

+(n-1)(-

1

2

)=

5-3n

6

，Sn=

6

5-3n

(n≥ 2)
从而an=

1

2

Sn•Sn-1=

18

(3n-5)(3n-8)

，
∴an=

3  (n=1) 18 (3n-5)(3n-8)

(n≥2)
（3）.

令ak-ak+1＞0，即(3k-2)(3k-5)(3k-8)＞0，可得 2 3 ＜k＜ 5 3 或k＞ 8 3 ．故只需取k=3，则对 大于或等于3的一切自然数总有ak＞ak+1成立，这样的自然数存在最小值3.

点评：本题考查的知识点是等差关系的确定，数列的函数特性，数列的递推公式．要判断一个数列是否为等差数列最常用的办法就是根据定义，判断a_n-a_n-1是否为一个常数．