Question

7．如图，四边形ABCD为矩形，点E，F在以O为圆心以AB为直径的圆上，AB∥EF，平面ABCD⊥平面ABEF，BC=EF=$\frac{1}{2}$AB．
（Ⅰ）求证：平面ADF⊥平面BCF；
（Ⅱ）求二面角A-BD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由四边形ABCD为矩形，可得DA⊥AB．进而由面面垂直的性质定理得到：DA⊥平面ABEF，进而DA⊥BF，又由AB为直径，得到BF⊥AF．最后由线面垂直的判定定理得到BF⊥平面DAF；
（Ⅱ）设AB=2，建立如图所示的坐标系，求出平面的法向量，即可求二面角A-BD-E的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴DA⊥AB．
∵平面ABCD⊥平面ABEF，且DA?平面ABCD，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴DA⊥平面ABEF．
∵BF?平面ABEF，
∴DA⊥BF．
∵AB为直径，
∴BF⊥AF．
∵DA，AF为平面DAF内的两条相交直线，
∴BF⊥平面DAF，
∵BF?平面BCF，
∴平面ADF⊥平面BCF；
（Ⅱ）解：设AB=2，建立如图所示的坐标系，则B（0，1，0），D（0，-1，1），E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{BD}$=（0，-2，-1），$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），
设平面BDE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{-2y-z=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$），
∵平面ABD的法向量为（1，0，0），
∴二面角A-BD-E的余弦值=$\frac{1}{1•\sqrt{1+3+12}}$=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定定理，考查二面角的余弦值，考查向量方法的运用，属于中档题．