题目内容

已知f（x）在（-1，1）上有定义，且满足x，y∈（-1，1）时，有
（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数．
（2）数列{an}满足，，xn=f（an），求{xn}的通项公式．
（3）求证：．
【答案】分析：利用赋值法，先令y=0可求f（0）=0，再令y=-x即可证明f（-x）=-f（x），即可
（2）由=f（an-1）+f（an-1）=2f（an-1）=2xn-1，可得{xn}为等比数列，根据等比数列的通项公式可求
（3）由=及f（x+y）=f（）可得=，利用叠加可求
解答：（1）证明：令y=0得：f（x）+f（0）=f（x）所以f（0）=0
令y=-x得：f（x）+f（-x）=f（0）=0所以f（-x）=-f（x）
又f（x）的定义域为（-1，1）
所以f（x）在（-1，1）上为奇函数
（2）解：∵=f（an-1）+f（an-1）=2f（an-1）=2xn-1

所以{xn}为以2为公比-1为首项的等比数列．  故
（3）证明：∵=
所以：=
所以   
     
       …
     
以上等式相加得：=1+=
点评：本题主要考查了利用赋值法证明抽象函数的奇偶性，及等比数列的证明，通项公式的求解，叠加求解数列的和，本题是函数与数列知识的综合应用，具有一定的综合性．
练习册系列答案
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已知f（x）在（-1，1）上有定义，f(
1
2
)=1，且满足x，y∈（-1，1）有f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
)．对数列{xn}有x1=
1
2
，xn+1=
2xn
1+
x
2
n
(n∈N*)
（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数．
（2）求f（xn）的表达式．
（3）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N*且
1
f(x1)
+
1
f(x2)
+…+
1
f(xn)
＜
m-8
4
成立？若存在，求出m的最小值．
已知f（x）在（-1，1）上有定义，f（
1
2
）=-1，且满足x，y∈（-1，1）有f（x）+f（y）=f（
x+y
1+xy
）
（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；?
（2）对数列x1=
1
2
，xn+1=
2xn
1+xn2
，求f（xn）；?
（3）求证
1
f(x1)
+
1
f(x2)
+…+
1
f(xn)
＞-
2n+5
n+2
已知f（x）在（-1，1）上有定义，f(
1
2
)=-1且满足x，y∈（-1，1）时，有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)
（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数．
（2）数列{an}满足a1=
1
2
，an+1=
2an
1+an2
，xn=f（an），求{xn}的通项公式．
（3）求证：1+f(
1
5
)+f(
1
11
)+…+f(
1
n2+3n+1
)=-f(
1
n+2
)．
已知f（x）在（-1，1）上有定义，，且满足x，y∈（-1，1）有．对数列{xn}有
（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数．
（2）求f（xn）的表达式．
（3）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N*且＜成立？若存在，求出m的最小值．
已知f（x）在（-1，1）上有定义，，且满足x，y∈（-1，1）有．对数列{xn}有
（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数．
（2）求f（xn）的表达式．
（3）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N*且＜成立？若存在，求出m的最小值．

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