题目内容
设复数z=cosθ+isinθ（0＜θ＜π），ω=1-(
| ||
| 1+z4 |
| ||
| 3 |
| π |
| 2 |
分析：化简ω，利用|ω|=
，求出θ的三角函数值，再用argω＜
，来验证ω，从而求出θ的值．
| ||
| 3 |
| π |
| 2 |
解答：解法一ω=
=
=
=tg2θ（sin4θ+icos4θ）．|ω|=|tg2θ|•|sin4θ+icos4θ|=|tg2θ|=
，tg2θ=±
．
因0＜θ＜π，故有
（ⅰ）当tg2θ=
时，得θ=
或θ=
，这时都有ω=
(cos
+isin
)，
得argω=
＜
，适合题意．
（ⅱ）当tg2θ=-
时，得θ=
或θ=
，这时都有ω=
(cos
+isin
)，
得argω=
＞
，不适合题意，舍去．
综合（ⅰ）、（ⅱ）知θ=
或θ=
．
解法二z4=cos4θ+isin4θ．
记φ=4θ，得(
)4=
=cos?-isin?．ω=
．=
(sin?+icos?)=tg
(sin?+icos?)．∵|ω|=
，argω＜
，
①②③
∴
当①成立时，②恒成立，所以θ应满足
（ⅰ）
，或（ⅱ）
，
解（ⅰ）得θ=
或θ=
．（ⅱ）无解．
综合（ⅰ）、（ⅱ）θ=
或θ=
．
| 1-[cos(-θ)+isin(-θ)]4 |
| 1+[cosθ+isinθ]4 |
| 1-cos(-4θ)-isin(-4θ) |
| 1+cos4θ+isin4θ |
| 2sin22θ+2isin2θcos2θ |
| 2cos22θ+2isin2θcos2θ |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
因0＜θ＜π，故有
（ⅰ）当tg2θ=
| ||
| 3 |
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
| ||
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
得argω=
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
（ⅱ）当tg2θ=-
| ||
| 3 |
| 5π |
| 12 |
| 11π |
| 12 |
| ||
| 3 |
| 11π |
| 6 |
| 11π |
| 6 |
得argω=
| 11π |
| 6 |
| π |
| 2 |
综合（ⅰ）、（ⅱ）知θ=
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
解法二z4=cos4θ+isin4θ．
记φ=4θ，得(
. |
| z |
. |
| (z4) |
| 1-cos?+isin? |
| 1+cos?+isin? |
| sin? |
| 1+cos? |
| ? |
| 2 |
| ||
| 3 |
| π |
| 2 |
①②③
∴
|
当①成立时，②恒成立，所以θ应满足
（ⅰ）
|
|
解（ⅰ）得θ=
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
综合（ⅰ）、（ⅱ）θ=
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
点评：本题考查复数的基本概念和运算，三角函数式的恒等变形及综合解题能力；注意分类讨论思想的应用，难度较大．
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