Question

已知函数f（x）=x|x-a|+2x．
（1）若a=4时，求函数f（x）的单调减区间；
（2）求所有的实数a，使得对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=2x+1图象的下方；
（3）若存在a∈[-4，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）a=4时，f（x）=x|x-4|+2x=

x2-2x，x≥4 6x-x2，x＜4

，
当x≥4时，f（x）=x²-2x的增区间是[4，+∞），无减区间．
当x＜4时，f（x）=6x-x²增区间是（-∞，3]，减区间是[3，4]，
综上所述，f（x）的单调减区间为[3，4]．…（4分）
（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，
即x|x-a|＜1，当x∈[1，2]恒成立，即|x-a|＜

1

x

，-

1

x

＜x-a＜

1

x

，
x-

1

x

＜a＜x+

1

x

，故只要x-

1

x

＜a，且a＜x+

1

x

在x∈[1，2]上恒成立即可，
在x∈[1，2]时，只要x-

1

x

的最大值小于a，
且x+

1

x

的最小值大于a即可，…（6分）
而当x∈[1，2]时，（x-

1

x

）′=1+

1

x2

＞0，x-

1

x

为增函数，(x-

1

x

)max=

3

2

；
当x∈[1，2]时，（x+

1

x

）′=1-

1

x2

＞0，x+

1

x

为增函数，（x+

1

x

）_min=2，
所以

3

2

＜a＜2．…（10分）
（3）当-2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，
则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根，…（11分）
则当a∈（2，4]时，由f（x）=

x2+(2-a)x，x≥a -x2+(2+a)x，x＜a

，
得x≥a时，f（x）=x²+（2-a）x，对称轴x=

a-2

2

＜a，
则f（x）在x∈[a，+∞）为增函数，此时f（x）的值域为[f（a），+∞）=[2a，+∞），
x＜a时，f（x）=-x²+（2+a）x，对称轴x=

a+2

2

＜a，
则f（x）在x∈（-∞，

a+2

2

]为增函数，此时f（x）的值域为（-∞，

(a+2)2

4

]，
f（x）在x∈[

a+2

2

，a）为减函数，此时f（x）的值域为（2a，

(a+2)2

4

]；
由存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，
则2ta∈（2a，

(a+2)2

4

），
即存在a∈（2，4]，使得t∈（1，

(a+2)2

8a

）即可，
令g（a）=

(a+2)2

8a

=

1

8

(a+

4

a

+4)，
只要使t＜（g（a））_max即可，而g（a）在a∈（2，4]上是增函数，
∴(g(a))max=g(4)=

9

8

，
故实数t的取值范围为（1，

9

8

）；…（15分）
同理可求当a∈[-4，-2）时，t的取值范围为（1，

9

8

）；
综上所述，实数t的取值范围为（1，

9

8

）．…（17分）