Question

设f(x)=loga

1-mx

x-1

为奇函数，g(x)=f(x)+loga

(x-1)(ax+1)

（a＞1且m≠1）
（1）求m的值及g（x）的定义域；
（2）若g（x）在(-

5

2

，-

3

2

)上恒为正，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据f(x)=loga

1-mx

x-1

为奇函数，f（x）+f（-x）=0，结合对数的运算性质，可得m²=1，结合m≠1得m=-1，进而根据对数函数真数大于0，构造不等式组，求出函数的定义域．
（2）根据g（x）在(-

5

2

，-

3

2

)上恒为正，结合底数大于1，可得真数恒大于1，进而a＞-

1

x+1

，x∈(-

5

2

，-

3

2

)恒成立，构造函数y=-

1

x+1

，结合函数在(-

5

2

，-

3

2

)上的单调性，求出最值，可得答案．

解答：解：（1）∵f(x)=loga

1-mx

x-1

是奇函数
∴f（x）+f（-x）=loga

1-mx

x-1

+loga

1+mx

-x-1

=loga

1-m2x2

1-x2

=0
解得m²=1
由m≠1得m=-1．　　　　　　　　　　　　　…（2分）
∴f(x)=loga

1+x

x-1

，
∴g（x）=loga

1+x

x-1

+loga[(x-1)(ax+1)]
则，

1+x x-1 ＞0 (x-1)(ax+1)＞0

即x＜-1，或x＞1，
∴g（x）的定义域为{x|x＜-1，或x＞1}．　　　　　　　　　　…（6分）
（2）∵a＞1
g（x）loga

1+x

x-1

+loga[(x-1)(ax+1)]=loga[(x+1)(ax+1)]在(-

5

2

，-

3

2

)上恒为正，
即(x+1)(ax+1)＞1，…（8分）
∴a＞-

1

x+1

，x∈(-

5

2

，-

3

2

)，…（10分）
由于y=-

1

x+1

在(-

5

2

，-

3

2

)上为增函数
故-

1

x+1

≤-

1

- 3 2 +1

=2
∴a＞2
故a的取值范围为（2，+∞）                …（12分）

点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数奇偶性与单调性的综合，是函数图象和性质的综合应用，难度稍大，应属于中档题．