Question

9．在数列{a_n}中，a₁=4，a_n+1=6a_n+2ⁿ⁺²（n∈N^*）．
（1）求证：数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+1=6a_n+2ⁿ⁺²（n∈N^*）两边同时除以2ⁿ⁺¹、整理变形可知$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$+1=3（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1），进而可知数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1}是首项、公比均为3的等比数列；
（2）通过（1）可知a_n=6ⁿ-2ⁿ，利用分组法求和计算即得结论．

解答 （1）证明：∵a_n+1=6a_n+2ⁿ⁺²（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{6{a}_{n}+{2}^{n+2}}{{2}^{n+1}}$=3•$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+2，
整理得：$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$+1=3（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1），
又∵$\frac{{a}_{1}}{2}$+1=$\frac{4}{2}$+1=3，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1}是首项、公比均为3的等比数列；
（2）解：由（1）可知：$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1=3ⁿ，
∴a_n=6ⁿ-2ⁿ，
∴数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{6（1-{6}^{n}）}{1-6}$-$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=$\frac{1}{5}$•6ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．