Question

4．已知四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，AC交BD于F，E为PA的中点，PC=3，且PC⊥平面ABCD．
（1）求证：平面EBD⊥平面ABCD；
（2）若三棱锥P-BCF的体积为2$\sqrt{3}$，求点E到平面PBC的距离．

Answer 1

分析 （1）证明EF∥PC，利用PC⊥平面ABCD，可得EF⊥平面ABCD，即可证明平面EBD⊥平面ABCD；
（2）利用等体积转换，求点E到平面PBC的距离．

解答 （1）证明：∵四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，AC交BD于F，
∴F为AC的中点，
∵E为PA的中点，
∵EF∥PC，
∵PC⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD．
∵EF?平面EBD，
∴平面EBD⊥平面ABCD；
（2）解：∵EF∥PC，EF?平面PBC，PC?平面PBC，
∴EF∥平面PBC，
∴点E到平面PBC的距离即为F到平面PBC的距离，即三棱锥F-PBC的高h，
由等体积，可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×PC×BC×h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×2h$=2$\sqrt{3}$，
∴h=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查线面垂直的判定，考查平面与平面垂直，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．