Question

设函数f（x）=（x-a）²x，a∈R．
（Ⅰ）若x=1为函数y=f（x）的极值点，求实数a；
（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（-∞，2]，恒有f（x）≤4成立．

Answer 1

解：（Ⅰ）求导函数可得f'（x）=（3x-a）（x-a）．
∵x=1为函数y=f（x）的极值点，∴f'（1）=（3-a）（1-a）=0．
∴a=1或a=3
a=1时，f'（x）=（3x-1）（x-1），函数在x=1的左右附近先减后增，符合题意；
a=3时，f'（x）=（3x-3）（x-3），函数在x=1的左右附近先增后减，符合题意；
∴a=1或a=3；
（Ⅱ）对任意的x∈（-∞，2]，恒有f（x）≤4成立，即（x-a）²x≤4对任意的x∈（-∞，2]恒成立
∴|a-x|对任意的x∈（0，2]恒成立
∴≤a≤
令g（x）=，h（x）=，x∈（0，2]
g′（x）=1+＞0，∴g（x）=在（0，2]上单调递增，∴g（x）_max=g（2）=2-，
h′（x）==，则0＜x＜1时，h（x）单调递减，1＜x＜2时，h（x）单调递增
∴h（x）_min=h（1）=3
∴2-≤a≤3
分析：（Ⅰ）求导函数，利用x=1为函数y=f（x）的极值点，可得f'（1）=（3-a）（1-a）=0，再验证，即可求得实数a；
（Ⅱ）对任意的x∈（-∞，2]，恒有f（x）≤4成立，即（x-a）²x≤4对任意的x∈（-∞，2]恒成立，从而|a-x|对任意的x∈（0，2]恒成立，即≤a≤，分别求出左右对应函数的最值，即可求得实数a的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，解题的关键是分离参数，确定函数的最值，属于中档题．