Question

（09年西城区抽样理）（14分）

已知抛物线，点M(m,0)在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点.

（Ⅰ）若m=1，l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；

    （Ⅱ）若存在直线l使得成等比数列，求实数m的取值范围.

Answer 1

 解析：（Ⅰ）解：由题意，得，直线l的方程为.

由, 得,

设A, B两点坐标为,  AB中点P的坐标为,

则,

故点               ----------3分

所以,

故圆心为, 直径,

所以以AB为直径的圆的方程为；     -------------6分

方法一：（Ⅱ）解：设A, B两点坐标为, .

则,

      所以                     ①             

      因为点A, B在抛物线C上,

      所以,                     ②         

      由12，消去得.                        --------------10分

      若此直线l使得成等比数列，则，

      即，所以，

      因为，，所以，

整理得，             ③          -----------12分

      因为存在直线l使得成等比数列，

所以关于x₁的方程3有正根，

      因为方程3的两根之积为m²>0, 所以只可能有两个正根，

      所以，解得.

故当时，存在直线l使得成等比数列.  ---------14分

方法二：（Ⅱ）解：设使得成等比数列的直线AB方程为或,

当直线AB方程为时, ，

因为成等比数列,

所以，即，解得m=4，或m=0(舍)；-------8分

当直线AB方程为时，

    由，得，

设A, B两点坐标为,

则,                         ① 

由m>0, 得.

因为成等比数列, 所以,

所以，               ②   

   因为A, B两点在抛物线C上，

所以,                                 ③-----11分

   由①②③，消去,

得,

因为存在直线l使得成等比数列，

所以,

       综上，当时，存在直线l使得成等比数列.  -----14分