Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA₁=2．
（Ⅰ）求三棱锥C-A₁B₁C₁的体积V；
（Ⅱ）求直线BD₁与平面ADB₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）若棱AA₁上存在一点P，使得

AP

=λ

PA1

，
当二面角A-B₁C₁-P的大小为30°时，求实数λ的值．

Answer 1

分析：（I）点C到面A₁B₁C₁的距离即为四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高A₁D的长，求出三棱锥C-A₁B₁C₁的底面积及高，代入三棱锥体积公式即可得到三棱锥C-A₁B₁C₁的体积V；
（Ⅱ）以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，分别求出直线BD₁的方向向量及平面ADB₁的法向量，代入向量夹角公式，即可求出直线BD₁与平面ADB₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）求出平面B₁C₁P的法向量，结合（2）中平面ADB₁的法向量，及已知中二面角A-B₁C₁-P的大小为30°，代入向量夹角公式，可以构造一个关于实数λ的方程，解方程，即可求出实数λ的值．

解答：解：（I）在Rt△A₁AD中，∠A₁AD=90°，A₁A=2，AD=1，∴A1D=

3

．（1分）
注意到点C到面A₁B₁C₁的距离即为四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高A₁D的长，
所以V=

1

3

×

1

2

×A1B1×B1C1×A1D=

3

6

．（3分）
（II）以点D为坐标原点，建立如图空间直角坐标系O-xyz，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(0，0，

3

)，B1(0，1，

3

)，D1(-1，0，

3

)，C1(-1，1，

3

)，（5分）∴

BD1

=(-2，-1，

3

)，

DA

=(1，0，0)，

DB1

=(0，1，

3

)，
设平面ADB₁的法向量

m

=(x，y，z)，
由

m • DA =0 m • DB1 =0

得平面ADB₁的一个法向量为

m

=(0，-

3

，1)，（7分）
记直线BD₁与平面ADB₁所成的角为α，则sinα=|

BD1 • m

| BD1 |•| m |

|=

6

4

，
所以直线BD₁与平面ADB₁所成角的正弦值为

6

4

．（8分）
（III）∵

AP

=λ

PA1

，∴P(

1

1+λ

，0，

3 λ

1+λ

)，
又

B1C1

=(-1，0，0)，

B1P

=(

1

1+λ

，-1，-

3

1+λ

)，
设平面B₁C₁P的法向量

n

=(a，b，c)，
由

n • B1C1 =0 n • B1P =0

得平面B₁C₁P的一个法向量为

n

=(0，-

3

1+λ

，1)，（10分）
则cos30°=

m • n

| m || n |

=

3 1+λ +1

2 1+ 3 (1+λ)2

，
注意到λ＞0，解得λ=2为所求．（12分）

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，棱锥的体积，用空间向量求直线与平面的夹角，其中建立空间坐标系将直线与平面夹角及二面角问题转化为向量夹角问题，是解答此类问题的关键．