Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA₁=2．
（Ⅰ）求证：C₁D∥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求直线BD₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角D-A₁C₁-A的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）C₁D所在平面CDD₁C₁平行平面ABB₁A₁，即可证明C₁D∥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，求出平面A₁C₁D的一个法向量为

n

=（1，1，0），利用cosβ=

n • BD1

| n || BD1 |

求直线BD₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值；
（Ⅲ）平面A₁C₁A的法向量为

m

=（a，b，c），利用cosα=

m • n

| m || n |

，求二面角D-A₁C₁-A的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）证明：四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁∥CC₁，
又CC₁?面ABB₁A₁，所以CC₁∥平面ABB₁A₁，（2分）ABCD是正方形，所以CD∥AB，
又CD?面ABB₁A₁，所以CD∥平面ABB₁A₁，（3分）
所以平面CDD₁C₁∥平面ABB₁A₁，
所以C₁D∥平面ABB₁A₁．（4分）
（Ⅱ）解：ABCD是正方形，AD⊥CD，
因为A₁D⊥平面ABCD，
所以A₁D⊥AD，A₁D⊥CD，
如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，．（5分）
在△ADA₁中，由已知可得A1D=

3

，
所以D(0，0，0)，A1(0，0，

3

)，A(1，0，0)，C1(-1，1，

3

)，B1(0，1，

3

)，D1(-1，0，

3

)，B(1，1，0)，

BD1

=(-2，-1，

3

)，（6分）
因为A₁D⊥平面ABCD，
所以A₁D⊥平面A₁B₁C₁D₁，A₁D⊥B₁D₁，
又B₁D₁⊥A₁C₁，
所以B₁D₁⊥平面A₁C₁D，（7分）
所以平面A₁C₁D的一个法向量为

n

=（1，1，0），（8分）
设

BD1

与n所成的角为β，
则cosβ=

n • BD1

| n || BD1 |

=

-3

2 8

=-

3

4

（9分）
所以直线BD₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值为

3

4

．（10分）
（Ⅲ）解：设平面A₁C₁A的法向量为

m

=（a，b，c），
则

m

•

A1C1

=0，

m

•

A1A

=0，
所以-a+b=0，a-

3

c=0，
令c=

3

，可得

m

=(3，3，

3

)，（12分）
设二面角D-A₁C₁-A的大小为α，
则cosα=

m • n

| m || n |

=

6

2 21

=

42

7

．
所以二面角D-A₁C₁-A的余弦值为

42

7

．（13分）

点评：本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，二面角及其度量，考查空间想象能力，逻辑思维能力．