Question

已知椭圆

x2

4

+y2=1，过点M（-1，0）作直线l交椭圆于A，B两点，O是坐标原点．
（1）求AB中点P的轨迹方程；
（2）求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用点差法，结合中点坐标公式，即可求AB中点P的轨迹方程；
（2）令l：x=hy-1代入x²+4y²=4，利用韦达定理，表示出△OAB面积，利用函数的单调性，即可求△OAB面积的最大值，及此时直线l的方程．

解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
则

x 2 1 4 + y 2 1 =1，(1) x 2 2 4 + y 2 2 =1，(2)

（1）-（2），得

(x1-x2)(x1+x2)

4

+(y1-y2)(y1+y2)=0，
∴

x

4

+

y

x+1

•y=0，即x²+x+4y²=0
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
令l：x=hy-1代入x²+4y²=4，得（4+h²）y²-2hy-3=0，△=16（h²+3）＞0，
y₁+y₂=

2h

4+h2

，y₁y₂=-

3

4+h2

∴S=

1

2

•|OM|•|y1-y2|=

1

2

•

△

4+h2

=

2 h2+3

h2+4

，
令

h2+3

=t≥

3

，则S=

2t

t2+1

=

2

t+ 1 t

在[

3

，+∞)上单调递减，
∴t=

3

，即h=0时，Smax=

3

2

，此时l：x=-1．

点评：本题考查点差法的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查函数最值的求法，正确表示三角形的面积是关键．