Question

【题目】平面上有个点，将每一个点染上红色或蓝色.从这个点中，任取个点，记个点颜色相同的所有不同取法总数为.

（1）若，求的最小值；

（2）若，求证：.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）详见解析.

【解析】

（1）当时，共有个点，对染红色的点的个数分类讨论，即得T的最小值为2.(2) 首先证明：任意，，，有. 设个点中含有个染红色的点，接着证明①时，②时，③时，.

解：（1）当时，共有个点，

若染红色的点的个数为个或个，则；

若染红色的点的个数为个或个，则；

若染红色的点的个数为个或个，则；

若染红色的点的个数为，则；

因此的最小值为.

（2）首先证明：任意，，，有.

证明：因此，所以.

设个点中含有个染红色的点，

①当时，

，

因为，所以，

于是.

②当时，

，

同上可得.

③当时，

，

设，，

当时，

，

显然，

当即时，，

当即时，，

即；；

因此，即.

综上，当时，.