Question

设曲线y=cosx与x轴、y轴、直线x=

π

6

围成的封闭图形的面积为b，若g（x）=2lnx-2bx²-kx在[1，+∞）上单调递减，则实数k的取值范围是

[0，+∞）

．

Answer 1

分析：由曲线y=cosx与x轴、y轴、直线x=

π

6

围成的封闭图形的面积为b，b为函数y=cosx在[0，

π

6

]上的定积分，求出b后代入函数g（x）=2lnx-2bx²-kx，由g（x）=2lnx-2bx²-kx在[1，+∞）上单调递减，可知其导函数在[1，+∞）上小于等于0恒成立，然后利用分离变量法可求k的取值范围．

解答：解：由题意可知，b=

∫

π 6 0

cosxdx=sin

x|

π 6 0

=sin

π

6

-sin0=

1

2

-0=

1

2

．
则g（x）=2lnx-2bx²-kx=2lnx-x²-kx．
g′(x)=

2

x

-2x-k，
由g（x）=2lnx-2bx²-kx在[1，+∞）上单调递减，
则g′(x)=

2

x

-2x-k≤0在[1，+∞）上恒成立，
即k≥

2

x

-2x在[1，+∞）上恒成立，
令t（x）=

2

x

-2x，
则t′(x)=-

2

x2

-2．
当x∈[1，+∞）时，t′(x)=-

2

x2

-2＜0
所以，函数t（x）=

2

x

-2x在[1，+∞）上为减函数，
则t（x）_max=t（1）=0，
所以，k≥0．
所以，使g（x）=2lnx-2bx²-kx在[1，+∞）上单调递减的实数k的取值范围是[0，+∞）．
故答案为[0，+∞）．

点评：本题考查了定积分的求法，考查了利用函数得到函数研究函数的单调性，训练了利用分离变量求参数的取值范围，此题属中档题．