Question

设不等式组

π 4 ≤x≤ 5π 4 |y|≤1

所表示的平面区域内为D，现向区域D内随机投掷一点，且该点又落在曲线y=sinx与y=cosx围成的区域内的概率是（　　）

• A．

  2

  2π

• B．

  2

  π

• C．2

  2

• D．1-

  2

  π

Answer 1

分析：利用定积分计算公式，算出曲线y=sinx与y=cosx围成的区域包含在区域D内的图形面积为S=2

2

，再由不等式组

π 4 ≤x≤ 5π 4 |y|≤1

所表示的平面区域D是长为π、宽为2的矩形，利用几何概型公式加以计算即可得到所求概率．

解答：解：根据题意，可得曲线y=sinx与y=cosx围成的区域，
位于区域D内的图形为如图的阴影部分，其面积为
S=

∫

5π 4 π 4

（sinx-cosx）dx=（-cosx-sinx）

|

5π 4 π 4

=（-cos

5π

4

-sin

5π

4

）-（-cos

π

4

-sin

π

4

）=2

2

．
又∵不等式组

π 4 ≤x≤ 5π 4 |y|≤1

所表示的平面区域D是一个长为π、宽为2的矩形，
∴向区域D内随机投掷一点，该点又落在阴影部分的概率为P=

S阴影

S矩形

=

2 2

π•2

=

2

π

．
故选：B

点评：本题给出区域D和正余弦曲线围成的区域，求在D上随机投一点P，使点P落入指定区域的概率．着重考查了定积分计算公式、定积分的几何意义和几何概型计算公式等知识，属于中档题．