Question

已知x，y∈R且x²+y²=1，a，b∈R为常数，t=

a2x2+b2y2

 +

b2x2+a2y2

则（　　）

A．t有最大值也有最小值

B．t有最大值无最小值

C．t有最小值无最大值

D．t既无最大值也无最小值

Answer 1

分析：直接利用不等式x+y≤

2(x2+y2)

可求出t的最大值，令

m

=（ax，by），

n

=（bx，ay），利用t=

|m|

+

|n|

≥|

m

+

n

|可求最小值．

解答：解：t=

a2x2+b2y2

 +

b2x2+a2y2

≤

2(a2x2+b2y2+b2x2+a2y2)

=

2(a2+b2)

当且仅当a²x²+b²y²=b²x²+a²y²时取等号
∴t有最大值

2(a2+b2)

令

m

=（ax，by），

n

=（bx，ay）
则t=

a2x2+b2y2

 +

b2x2+a2y2

=

|m|

+

|n|

≥|

m

+

n

|=

(ax+bx)2+(by+ay)2

=|a+b|
∴t有最小值|a+b|
∴t有最大值也有最小值
故选A．

点评：本题主要考查了基本不等式，以及构造法的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．