Question

已知，c∥a，求证b、c为异面直线．

Answer 1

答案：
解析：

证法1 如上图． 而c//a, 于是A c 在直线b上任取一点B(不同于A)． ∴ AB与c为异面直线，即b、c为异面直线． 证法2 假设b、c不是异面直线，即b、c为共面直线，则b、c相交或平行． (1)若b∩c=P，，且，从而交点P一定在平面的交线上，即P∈A．于是a∩c=P．这与已知条件a∥c矛盾，因此b与c相交不成立． (2)若b∥c，由a∥c，则a∥b．这与已知条件a∩b=A矛盾，因此b、c平行也不能成立． 综合(1)，(2)，可知b、c为异面直线． 证法3 假设b、c不是异面直线，即假设直线b、c在同一个平面内，则有 在直线b上任取一点B(不同于A)，一定经过B点与直线c． 又 A∈a，a∥c， 于是经过c与c外一点A的平面就是平面．而这样的平面只能有一个，即平面与平面是同一个平面． 从而，直线b、c都在平面矛盾，因此b、c为异面直线． 注意，在运用反证法时，如果原命题结论的反面只有一种情形，那么在证明过程中，只要否定这种情况，就能肯定原命题为真．这种反证法称为归谬法(如上述证法3)．如果原命题结论的反面有多种情况，那么在证明过程中，就应该把这些情况一一列出，并一一给以否定，才能肯定原命题结论为真．这种反证法又称穷举法(如上述证法2)．