Question

已知点A（0，-3），O为坐标原点，动点P（x，y）满足|PA|=2|PO|．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若关于直线y=k（x-1）对称的两点M，N在动点P的轨迹上，且直线MN与x²+y²=1相切，试求直线MN的方程．

Answer 1

分析：（1）设点P的坐标为（x，y），进而表示出|PA|和|PO|，根据|PA|=2|PO|，求得点P的轨迹方程；
（2）设出与直线y=k（x-1）垂直的直线方程为y=-

1

k

x+b，和x²+y²-2y-3=0联立后利用根与系数关系得到M，N的横纵坐标的和，求得M，N的中点坐标，代入直线y=k（x-1）求k值，再由直线MN和圆相切求b，则答案可求．

解答：解：（1）设P（x，y），则|PA|=

x2+(y+3)2

，|PO|=

x2+y2

．
由|PA|=2|PO|，得

x2+(y+3)2

=2

x2+y2

．
整理得：x²+y²-2y-3=0；
（2）设与直线y=k（x-1）垂直的直线方程为y=-

1

k

x+b，即x+ky-kb=0．
联立

y=- 1 k x+b x2+y2-2y-3=0

，得(1+

1

k2

)x2-

2

k

(b+1)x+b2-2b-3=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x1+x2=

2k(b+1)

k2+1

，x1x2=

k2(b2-2b-3)

k2+1

．
∴y1+y2=-

1

k

(x1+x2)+2b=-

1

k

•

2k(b+1)

k2+1

+2b=

2k2b-2

k2+1

．
∵两点M，N关于直线y=k（x-1）对称，
∴

k2b-1

k2+1

=k(

kb+k

k2+1

-1)，整理得：k³-k²+k-1=0，解得k=1．
∴与直线y=k（x-1）垂直的直线方程为x+y-b=0．
又直线MN与x²+y²=1相切，
∴

|-b|

2

=1，解得b=±

2

．
∴直线MN的方程为x-y±

2

=0．

点评：本题考查了轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，解答此类问题常采用“设而不求”的解题思想方法，即利用直线和圆锥曲线的关系联立方程组，化为关于x（或y）的方程后利用根与系数的关系解题，考查了学生的计算能力，在高考试题中往往以压轴题的形式出现．