题目内容
如图，已知点A（0，-3），动点P满足|PA|=2|PO|，其中O为坐标原点．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程．
（Ⅱ）记（Ⅰ）中所得的曲线为C．过原点O作两条直线l1：y=k1x，l2：y=k2x分别交曲线C于点E（x1，y1）、F（x2，y2）、G（x3，y3）、H（x4，y4）（其中y2＞0，y4＞0）．求证：
| k1x1x2 |
| x1+x2 |
| k2x3x4 |
| x3+x4 |
（III）对于（Ⅱ）中的E、F、G、H，设EH交x轴于点Q，GF交x轴于点R．求证：|OQ|=|OR|．（证明过程不考虑EH或GF垂直于x轴的情形）
分析：（1）设点P的坐标为（x，y），进而表示出|PA|和|PO|，根据|PA|=2|PO|，求的点P的轨迹方程．
（2）将直线EF和GH的方程分别代入圆C方程，利用韦达定理分别求得交点横坐标之和与之积，进而代入
和
，证明原式．
（3）设点Q（q，0），点Q（r，0），由E、Q、H三点共线求得q的表达式，根据F、R、G三点共线求得r的表达式，进而根据（2）中的
=
整理得
+
=0，进而可知q+r=0，所以|q|=|r|，即|OQ|=|OR|．
（2）将直线EF和GH的方程分别代入圆C方程，利用韦达定理分别求得交点横坐标之和与之积，进而代入
| k1x1x2 |
| x1+x2 |
| k2x3x4 |
| x3+x4 |
（3）设点Q（q，0），点Q（r，0），由E、Q、H三点共线求得q的表达式，根据F、R、G三点共线求得r的表达式，进而根据（2）中的
| k1x1x2 |
| x1+x2 |
| k2x3x4 |
| x3+x4 |
| (k1-k2)x2x3 |
| k1x2-k2x3 |
| (k1-k2)x1x4 |
| k1x1-k2x4 |
解答：
解：（Ⅰ）设点P（x，y），依题意可得
=2
整理得x2+y2-2y-3=0
故动点P的轨迹方程为x2+y2-2y-3=0．
（Ⅱ）将直线EF的方程y=k1x代入圆C方程
整理得（k12+1）x2-2k1x-3=0
根据根与系数的关系得x1+x2=
，x1x2=-
①
将直线GH的方程y=k2x代入圆C方程，
同理可得x3+x4=
，x3x4=-
②
由①、②可得
=-
=
，所以结论成立．
（Ⅲ）设点Q（q，0），点Q（r，0），由E、Q、H三点共线
得
=
，解得q=
由F、R、G三点共线
同理可得r=
由
=
变形得
=
即
+
=0，
从而q+r=0，所以|q|=|r|，即|OQ|=|OR|．
解：（Ⅰ）设点P（x，y），依题意可得| x2+(y+3)2 |
| x2+y2 |
整理得x2+y2-2y-3=0
故动点P的轨迹方程为x2+y2-2y-3=0．
（Ⅱ）将直线EF的方程y=k1x代入圆C方程
整理得（k12+1）x2-2k1x-3=0
根据根与系数的关系得x1+x2=
| 2k1 |
| k12+1 |
| 3 |
| k12+1 |
将直线GH的方程y=k2x代入圆C方程，
同理可得x3+x4=
| 2k2 |
| k22+1 |
| 3 |
| k22+1 |
由①、②可得
| k1x1x2 |
| x1+x2 |
| 3 |
| 2 |
| k2x3x4 |
| x3+x4 |
（Ⅲ）设点Q（q，0），点Q（r，0），由E、Q、H三点共线
得
| x1-q |
| k1x1 |
| x4-q |
| k2x4 |
| (k1-k2)x1x4 |
| k1x1-k2x4 |
由F、R、G三点共线
同理可得r=
| (k1-k2)x2x3 |
| k1x2-k2x3 |
由
| k1x1x2 |
| x1+x2 |
| k2x3x4 |
| x3+x4 |
| x2x3 |
| k1x2-k2x3 |
| -x1x4 |
| k1x1-k2x4 |
即
| (k1-k2)x2x3 |
| k1x2-k2x3 |
| (k1-k2)x1x4 |
| k1x1-k2x4 |
从而q+r=0，所以|q|=|r|，即|OQ|=|OR|．
点评：本题主要考查了圆方程得综合应用．涉及直线与圆的关系常需要把直线方程与圆方程联立，利用韦达定理来解决问题．
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