Question

【题目】设函数，其中，．

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）若函数仅在处有极值，求的取值范围；

（3）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）在，内是增函数，在，内是减函数；（2）；（3）．

【解析】

（1）代入，由导数，可求得单调区间。

（2）因为，即只有一个根x=0,且是奇次根，只需=0无实数根。

（3）只需，由条件可知，从而恒成立．所以。

（1）．

当时，．

令，解得，，．

当变化时，，的变化情况如下表：

所以在，内是增函数，在，内是减函数．

（2），显然不是方程的根．

为使仅在处有极值，必须恒成立，即有．

解此不等式，得．这时，是唯一极值．因此满足条件的的取值范围是．

（3）由条件可知，从而恒成立．

当时，；当时，．

因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．

为使对任意的不等式在上恒成立，当且仅当，

即，在上恒成立，

所以，因此满足条件的的取值范围是．