Question

【题目】试比较3－与（n为正整数）的大小，并予以证明．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

利用作差法可得3－－＝，确定3－与的大小关系等价于比较与2n＋1的大小，利用数学归纳法证明即可.

证明：3－－＝，

于是确定3－与的大小关系等价于比较与2n＋1的大小．

由2＜2×1＋1，＜2×2＋1，＞2×3＋1，＞2×4＋1，＞2×5＋1，

可猜想当n≥3时，＞2n＋1，

证明如下：

ⅰ当n＝3时，由上可知显然成立．

ⅱ假设当n＝k时，＞2k＋1成立．

那么，当n＝k＋1时，

＝2×＞2(2k＋1)＝4k＋2＝2(k＋1)＋1＋(2k－1)＞2(k＋1)＋1，

所以当n＝k＋1时猜想也成立，

综合ⅰ和ⅱ，对一切n≥3的正整数，都有＞2n＋1．

所以当n＝1，2时，3－＜；

当n≥3时，3－＞（n为正整数）．