题目内容
已知x、y为正实数，且满足关系式x2-2x+4y2=0，求x·y的最大值.
思路分析：题中有两个变量x和y，首先应选择一个主要变量，将x、y表示为某一变量（x或y或其他变量）的函数关系，实现问题的转化，同时根据题设条件确定变量的取值范围，再利用导数（或均值不等式等）求函数的最大值.
?解：4y2=2x-x2，
∵y＞0，?
∴y=
，
∴x·y=
x
.?
由
解得0＜x≤2.
设f（x）=xy=
x
（0＜x≤2）.?
当0＜x＜2时，f′（x）=
［
+
］=
.?
〔注：（
）′=
〕?
令f′（x）=0，得x=
或x=0（舍）.?
∴f（
）=
，又f（2）=0，?
∴函数f（x）的最大值为
.?
即x·y的最大值为
.
温馨提示
解决有关单调性和最值问题，导数是非常方便而且重要的工具.
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