Question

（2011•乐山一模）已知

a

=(

1

k

，2)，

b

=(-1，

1

x

)，f(x)=

a

•

b

（其中k为非零常数）．
（1）解关于x的不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，求k的范围．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积，求出函数的表达式，直接利用分类讨论解关于x的不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，转化为

2

x

+2x≥

1

k

，在（0，+∞）上恒成立，利用基本不等式，求k的范围．

解答：解：（1）f(x)=

a

•

b

=

2

x

-

1

k

，
则f（x）＞0，即

2

x

-

1

k

＞0，即

x-2k

xk

＜0，
①如果k＞0，则原不等式等价于x（x-2k）＜0，
∴0＜x＜2k．
②如果k＜0，则原不等式等价于x（x-2k）＜0，
∴x＞0或x＜2k．
综上所述，当k＞0时，原不等式的解集为{x|0＜x＜2k}．
当k＜0时，原不等式的解集为{x|0＜x或x＜2k}．
（2）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，
即

2

x

+2x-

1

k

≥0在（0，+∞）上恒成立，
即

2

x

+2x≥

1

k

，在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=

2

x

+2x，∵x＞0，
∴g（x）≥2×2=4，当且仅当x=1时取等号，
∴

1

k

≤4，解得k＜0或k≥

1

4

．

点评：本题考查向量的数量积的应用，基本不等式的应用，分类讨论的思想，考查计算能力．