题目内容
10.现有甲、乙、丙三人参加某电视的一档应聘节目,若甲应聘成功的概率为$\frac{1}{2}$,乙、丙应聘成功的概率均为$\frac{t}{2}$(0<t<2),且三人是否应聘成功是相互独立的.(1)若乙、丙有且只有一人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率,求t的值;
(2)若三人中恰有两人应聘成功的概率为$\frac{7}{32}$,求t的值;
(3)记应聘成功的人数为ξ,若当且仅当ξ=2时,对应的概率最大,求E(ξ)的取值范围.
分析 (1)由题意得2×$\frac{t}{2}$(1-$\frac{t}{2}$)=$\frac{1}{2}$,由此能求出t的值.
(2)由已知得三人中恰有两人应聘成功的概率p=$\frac{1}{2}×\frac{t}{2}×(1-\frac{t}{2})$+$\frac{1}{2}×(1-\frac{t}{2})×\frac{t}{2}$+(1-$\frac{1}{2}$)×$\frac{t}{2}×\frac{t}{2}$=$\frac{7}{32}$,由此利用相互独立事件乘法公式能求出结果.
(3)由题意知ξ的所有可能取值为0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出E(ξ)的取值范围
解答 解:(1)∵甲应聘成功的概率为$\frac{1}{2}$,乙、丙应聘成功的概率均为$\frac{t}{2}$(0<t<2),
且三人是否应聘成功是相互独立的.
乙、丙有且只有一人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率,
∴由题意得2×$\frac{t}{2}$(1-$\frac{t}{2}$)=$\frac{1}{2}$,
解得t=1.
(2)由已知得三人中恰有两人应聘成功的概率:
p=$\frac{1}{2}×\frac{t}{2}×(1-\frac{t}{2})$+$\frac{1}{2}×(1-\frac{t}{2})×\frac{t}{2}$+(1-$\frac{1}{2}$)×$\frac{t}{2}×\frac{t}{2}$=$\frac{7}{32}$
∴$\frac{4t-{t}^{2}}{8}=\frac{7}{32}$,解得$t=\frac{1}{2}$或t=$\frac{7}{2}$,
∵0<t<2,∴t=$\frac{1}{2}$.
(3)由题意知ξ的所有可能取值为0,1,2,3,
P(ξ=0)=(1-$\frac{1}{2}$)(1-$\frac{t}{2}$)(1-$\frac{t}{2}$)=$\frac{(1-t)^{2}}{8}$,
P(ξ=1)=$\frac{1}{2}(1-\frac{t}{2})(1-\frac{t}{2})$+$(1-\frac{1}{2})×\frac{t}{2}×(1-\frac{t}{2})$+(1-$\frac{1}{2}$)(1-$\frac{t}{2}$)×$\frac{t}{2}$=$\frac{4-{t}^{2}}{8}$,
P(ξ=2)=$\frac{1}{2}×\frac{t}{2}×(1-\frac{t}{2})$+$\frac{1}{2}×(1-\frac{t}{2})×\frac{t}{2}$+(1-$\frac{1}{2}$)×$\frac{t}{2}×\frac{t}{2}$=$\frac{4t-{t}^{2}}{8}$,
P(ξ=3)=$\frac{1}{2}×\frac{t}{2}×\frac{t}{2}=\frac{{t}^{2}}{8}$,
∴ξ的分布列为:
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | $\frac{(2-t)^{2}}{8}$ | $\frac{4-{t}^{2}}{8}$ | $\frac{4t-{t}^{2}}{8}$ | $\frac{{t}^{2}}{8}$ |
由题意知P(ξ=2)-P(ξ=1)=$\frac{t-1}{2}$>0,
P(ξ=2)-P(ξ=0)=$\frac{-{t}^{2}+4t-2}{4}$>0,
P(ξ=2)-P(ξ=3)=$\frac{2t-{t}^{2}}{4}$,
又0<t<2,∴1<t<2,
∴$\frac{3}{2}$<E(ξ)<$\frac{5}{2}$.
点评 本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识,考查数据处理能力,考查化归与转化思想,是中档题.
| A. | $\frac{1}{3}$ | B. | -$\frac{\sqrt{6}}{3}$ | C. | $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ | D. | -$\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| A. | 充分但不必要条件 | B. | 必要但不充分条件 | ||
| C. | 充要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |