Question

（2012•福建）如图，等边三角形OAB的边长为8

3

，且其三个顶点均在抛物线E：x²=2py（p＞0）上．
（1）求抛物线E的方程；
（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．

Answer 1

分析：（1）依题意，|OB|=8

3

，∠BOy=30°，从而可得B（4

3

，12），利用B在x²=2py（p＞0）上，可求抛物线E的方程；
（2）由（1）知，y=

1

4

x2，y′=

1

2

x，设P（x₀，y₀），可得l：y=

1

2

x0x-

1

4

x02，与y=-1联立，求得Q(

x02-4

2x0

，-1)取x₀=2，x₀=1，猜想满足条件的点M存在，再进行证明即可．

解答：解：（1）依题意，|OB|=8

3

，∠BOy=30°，
设B（x，y），则x=|OB|sin30°=4

3

，y=|OB|cos30°=12
∵B（4

3

，12）在x²=2py（p＞0）上，∴(4

3

)2=2p×12
∴p=2，
∴抛物线E的方程为x²=4y；
（2）由（1）知，y=

1

4

x2，y′=

1

2

x
设P（x₀，y₀），则x₀≠0．l：y-y0=

1

2

x0(x-x0)即y=

1

2

x0x-

1

4

x02
由

y= 1 2 x0x- 1 4 x02 y=-1

得

x= x02-4 2x0 y=-1

，∴Q(

x02-4

2x0

，-1)
取x₀=2，此时P（2，1），Q（0，-1），以PQ为直径的圆为（x-1）²+y²=2，交y轴于点M₁（0，1）或M₂（0，-1）
取x₀=1，此时P（1，

1

4

），Q（-

3

2

，-1），以PQ为直径的圆为（x+

1

4

）²+（y+

3

8

）²=2，交y轴于点M₃（0，1）或M₄（0，-

7

4

）
故若满足条件的点M存在，只能是M（0，1），证明如下
∵

MP

=(x0，y0-1)，

MQ

=(

x02-4

2x0

，-2)
∴

MP

•

MQ

=

x02-4

2x0

-2y0+2=2y₀-2-2y₀+2=0
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（0，1）．

点评：本题主要考查抛物线的定义域性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．