题目内容

10．如图，在△ABC中，AB=2$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{10}$，AC=2$\sqrt{13}$，E、F、G分别为三边中点，将△BEF，△AEG，△GCF分别沿EF、EG、GF向上折起，使A、B、C重合，记为S，则三棱锥S-EFG的外接球面积为（　　）
A．14πB．15πC．$\frac{29}{2}$πD．2$\sqrt{33}$π

分析 将三棱锥S-EFG补充成长方体，则对角线长分别为$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{13}$，设长方体的长宽高分别为x，y，z，则x2+y2=5，y2+z2=10，x2+z2=13，可得三棱锥S-EFG的外接球的直径、半径，从而求出三棱锥S-EFG的外接球面积．

解答 解：由题意，三棱锥S-EFG的对棱分别相等，将三棱锥S-EFG补充成长方体，
则对角线长分别为$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{13}$，
设长方体的长宽高分别为x，y，z，
则x2+y2=5，y2+z2=10，x2+z2=13，
∴x2+y2+z2=14，
∴三棱锥S-EFG的外接球的直径为$\sqrt{14}$，半径为$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
∴三棱锥S-EFG的外接球面积为$4π•（\frac{\sqrt{14}}{2}）^{2}$=14π．
故选：A．

点评 本题考查三棱锥S-EFG的外接球面积，考查学生的计算能力，正确构造长方体是关键．

练习册系列答案
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