Question

1．已知函数f（x）满足f（x+1）=x，函数g（x）=-x²+ax-b，且不等式g（x）≤0的解集是（-∞，1]∪[5，+∞）．
（1）若φ（x）=g（x）-|f（x）|，求φ（x）的最大值；
（2）求不等式g（x）≥|f（x）|的解集．

Answer 1

分析 （1）求出φ（x）的表达式，通过讨论x的范围，求出φ（x）的单调区间，求出其最大值即可；（2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．

解答 解：（1）∵f（x+1）=x，∴f（x）=x-1，
∵函数g（x）=-x²+ax-b，且不等式g（x）≤0的解集是（-∞，1]∪[5，+∞），
∴-x²+ax-b≤0即x²-ax+b≥0的解集是（-∞，1]∪[5，+∞），
∴a=6，b=5，
∴g（x）=-x²+6x-5，
∴φ（x）=g（x）-|f（x）|=-x²+6x-5-|x-1|，
x≥1时，φ（x）=-x²+5x-4，对称轴x=$\frac{5}{2}$，
∴φ（x）在[1，$\frac{5}{2}$）递增，在（$\frac{5}{2}$，+∞）递减，
∴φ_max（x）=φ（$\frac{5}{2}$）=$\frac{9}{4}$，
x＜1时，φ（x）=-x²+7x-6，对称轴x=$\frac{7}{2}$，
∴φ（x）在（-∞，1）递增，
∴φ_max（x）=φ（1）=0，
综上，φ_max（x）=φ（$\frac{5}{2}$）=$\frac{9}{4}$；
（2）x≥1时，-x²+6x-5≥x-1，解得：1≤x≤4，
x＜1时，-x²+6x-5≥-x+1，解得：1≤x≤6，舍，
综上，不等式g（x）≥|f（x）|的解集是[1，4]．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查绝对值不等式问题，是一道中档题．