Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为4正三角形，AA₁⊥平面ABC，AA₁=2

6

，M为A₁B₁的中点．
（Ⅰ）求证：MC⊥AB；
（文科）（Ⅱ）求三棱锥A₁-ABP的体积．
（理科）（Ⅱ）若点P为CC₁的中点，求二面角B-AP-C的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,组合几何体的面积、体积问题,直线与平面垂直的性质

专题：计算题,作图题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取AB的中点N，连结MN，CN；从而可证CN⊥AB，MN⊥平面ABC，NM⊥AB，从而得证AB⊥平面MNC，从而得证；
（文科）（Ⅱ）三棱锥A₁-ABP的体积可转化为三棱锥P-A₁AB的体积，从而求值；
（理科）（Ⅱ）取AC的中点D，连结BD，作DE⊥AP于点E，连结BE；可证∠BED为二面角B-AP-C的平面角，在Rt△BED中求二面角B-AP-C的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）证明：取AB的中点N，连结MN，CN；
∵底面是正三角形，
∴CN⊥AB，
又∵M为A₁B₁的中点，
∴MN∥AA₁，
又∵AA₁⊥平面ABC，
∴MN⊥平面ABC，
∴NM⊥AB，
又∵MN∩CN=N，MN?平面MNC，CN?平面MNC，
∴AB⊥平面MNC，又∵MC?平面MNC，
∴MC⊥AB．
（文科）（Ⅱ）三棱锥A₁-ABP的体积可转化为三棱锥P-A₁AB的体积，
SA1AB=

1

2

×4×2

6

=4

6

；
h=CN=4×

3

2

=2

3

，
故V=

1

3

×4

6

×2

3

=8

2

．
（理科）（Ⅱ）如图，取AC的中点D，连结BD，作DE⊥AP于点E，连结BE；
∵AA₁⊥平面ABC，BD?平面ABC，
∴AA₁⊥BD，又∵BD⊥AC，
∴BD⊥平面ACP，
∴BD⊥AP，又∵DE⊥AP，
∴AP⊥平面BDE，
∴∠BED为二面角B-AP-C的平面角，
在Rt△BED中，
BD=4×

3

2

=2

3

，
DE=

1

2

×

4 6

16+6

=

2 33

11

，
BE=

12+ 12 11

=

12 11

11

，
故cos∠BED=

DE

BE

=

3

6

．
故二面角B-AP-C的余弦值为

3

6

．

点评：本题考查了学生的空间想象力及作图与识图的能力，同时考查了体积的转化，及垂直的应用，属于难题．